[ Pobierz całość w formacie PDF ]
ÿþWydziaÅ‚ WILiZ, Budownictwo i Transport, sem.1
dr Jolanta Dymkowska
Twierdzenie Rolle a i Lagrange a
Zad.1 Sprawdz, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Rolle a w podanych przedziałach:
À 5À
1.1 f(x) = x3 + 4x2 - 7x - 10 - 1 x 2 1.2 f(x) = ln sin x x
6 6
À
1.3 f(x) = - arctg |x| - 1 x 1
4
Zad.2 Nie znajdując pochodnej funkcji f(x) = (x + 1)(x - 2)(x - 4)(x - 5) oblicz ilość pierwiastków równania
f (x) = 0 i podaj przedziały, w których one leżą.
Zad.3 Sprawdz, czy podane funkcje spełniają założenia twierdzenia Lagrange a w podanych przedziałach:
3.1 f(x) = x - x2 - 2 x 1 3.2 f(x) = arctg x 0 x 1
"
Zad.4 Zastosuj twierdzenie Lagrange a do funkcji f(x) = arctg x na przedziale -1 , 3 . Wyznacz odpowiednie
punkty.
Różniczka zupełna
Zad.5 Wyznacz różniczki zupełne funkcji:
"
x2-1 1
5.1 f(x) = + arcsin 5.2 f(x) = ln e2x + 1 - 2 arctg ex
x x
x
5.3 f(x) = ( x2 + 9 ) arctg - 3x
3
Zad.6 Oblicz, korzystając z różniczki zupełnej, przybliżoną wartość wyrażenia:
"
3
6.1 ln(1, 02) 6.2 8, 12 6.3 arctg (1, 01) 6.4 e-0,05
1
"
6.5 arcsin (0, 505) 6.6
8,99
Wzór Taylora
Zad.7 Napisz wzór Taylora rzędu n dla funkcji f(x) w otoczeniu punktu x0 :
7.1 f(x) = arcsin x n = 1, x0 = 0 7.2 f(x) = x cos x n = 3, x0 = 0
7.3 f(x) = x2x n = 1, x0 = 1 7.4 f(x) = ln(x2 + x - 2) n = 2, x0 = 2
Zad.8 Napisz wzór Maclaurina dla funkcji f(x) :
1
"
8.1 f(x) = 4 sin x cos x 8.2 f(x) = e3x 8.3 f(x) =
1-x
Zad.9 Napisz wzór Taylora dla funkcji f(x) w otoczeniu punktu x0 :
À 1
9.1 f(x) = cos x x0 = 9.2 f(x) = e2x x0 = 1 9.3 f(x) = x0 = -1
2 x
Zad.10 Wielomian f(x) = x4 - 5x3 + x2 - 3x + 4 przedstaw jako sumę potęg dwumianu x - 4 .
Zad.11 Oszacuj błędy wzorów przyblożonych:
x2 x3 x4
11.1 ex H" 1 + x + + + 0 x 1
2 6 24
x3
11.2 tg x H" x + |x| 0, 1
6
"
x x2 1
11.3 1 + x H" 1 + - |x|
2 8 4
[ Pobierz całość w formacie PDF ]